BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar
Belakang
Dalam pembuatan makalah ini
yang akan kami bahas relasi dalam graf dan matrik beserta jenis-jenis relasi.
Seringkali relasi yang dinyatakan sebagai pasangan berurutan sulit untuk
dilihat dan dibayangkan, terutama bagi bagi yang belum terbiasa dengan konsep
relasi. Matriks adalaha dalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris
dan kolom. Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis
dengan graf berarah (directed graph atau
digraph) graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi
darisuatu himpunan ke himpunan lain. Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan
sebuah titik (disebut juga simpul atau
R, maka sebuah busur dibuat dari simpul aÎvertex).Jika (a, b) kesimpul b. Simpul a disebut simpul asal
(initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan(terminal vertex). Pasangan
terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur
semacam itu disebut gelang atau kalang (loop). Didalam sebuah relasi memiliki
beberapa jenisrelasi seperti contoh berikut. Relasi Invers, Relasi Refleksif,
Relasi Simetrik, Relasi anti Simetrik,Relasi Transitif, Relasi Equivalen.
Turunan adalah salah
satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks
antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas
lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat
yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675
sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan
mekanika. Sir Isaac Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa
Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa
Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus
memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu
pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang
utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi.
1.2. Rumusan Masalah
Apa saja Relasi,Pungsi,Limit, apliksi turunandan
Pungsi Turunan yang ada dalam ilmu matematika,Kalkulus cabang ilmu lain atau
dalam kehidupan sehari-hari?
1.3. Tujuan
a. Dapat mengetahui dan
menjelaskan Relasi dan Fungsi
b. Dapat mengetahui dan
menjelaskan Limit
c. Dapat mengetahui dan menjelaskan Fungsi Turunan
d. Dapat mengetahui dan menjelaskan beberapa Aplikasi
turunan.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 RELASI
A. RELASI
DAN SIFATNYA
1. Pengertian Relasi
Definisi 1 (Hasil
Kali Kartesian)
Hasil kali
kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan
terurut (a, b) untuk a
A dan b
B.
Contoh 1
Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka
AxB = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}
Banyaknya
himpunan yang terlibat dalam operasi ini mempengaruhi nama operasinya, jika
operasi tersebut hanya melibatkan dua himpunan, disebut operasi biner.
Definisi 2
(Relasi)
Relasi, dilambangkan
dengan huruf besar R, adalah Subset dari hasil kali Cartesian (Cartesian
product). Jika (x, y)
R, maka x berelasi dengan y.
{x
A| (x, y)
R untuk suatu y
B} disebut domain dari R. Sedangkan
Range dari R= {y
B| (x, y)
R untuk suatu x
A}
Contoh 2
Pada contoh 1, kita dapat membuat relasi:
R1 = {(1, a), (1, b)}
R2 = {(1, a), (2, a), (3, a)}
R3 = {(1, b), (2, b), (1, a}
R4 = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}
R5 =
R6={(a, 1), (2, a)}
Himpunan pasangan
terurut R1, R2, R3, R4, R5, merupakan subset dari AxB, dan membentuk suatu
relasi, tetapi R6 bukan relasi dari AxB, karena (a, 1)
AxB.
Sebuah pasangan terurut menjadi anggota relasi R1,
ditulis: (1, a)
R1 atau 1 R1 a. Dan jika (2, a)
bukan anggota relasi R1, ditulis:
(2,a)
R1 atau 2 R1 a.
Definisi 3
(Relasi biner atas satu himpunan A)
Relasi biner atas himpunan A adalah relasi biner dari A
ke A.
Relasi
yang demikian ini, seringkali muncul dalam kehidupan sehari-hari, di dalam
kalkulus I, kita kenal relasi dari R ke R, dari bilangan riil ke bilangan riil.
Contoh 3
Masing-masing
relasi berikut adalah relasi biner atas bilangan bulat (Z):
R1 = {(a, b)| a ≥ b, dan a, b
Z}
R2 = {(a, b)| a < b, dan a, b
Z}
R3 = {(a, b)| a=b atau a=-b, dan a, b
Z}
R4 = {(a, b)| a=b, dan a, b
Z}
R5 = {(a, b)| a = b+1, dan a, b
Z}
R6 = {(a, b)| a + b ≤ 3, dan a, b
Z}
R7 = {(a, b)| a|b, dan a, b
Z, dan b≠0}
Contoh 4
D={a, b, c}
(D)={
, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,c}, {a, b, c}}
2. Operasi Relasi
Karena relasi merupakan himpunan, maka operasi pada
himpunan
juga berlaku dalam relasi:
1. Operasi
(intersection)
2. Operasi
(union)
3.
Operasi
(symmetric difference)
4. Operasi
- (difference)
5.
Operasi komplemen (komplemen relative terhadap Cartesian
product)
Contoh
5
Jika A
= {1, 2, 5, 6}, R1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan
R2 =
{(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, maka:
R1
R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5)}
R1
R2 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6),
(2, 5), (1, 2), (1, 6), (5,6)}
R1
R2 = {(5, 5), (6, 6), (1, 2), (1, 6),
(5, 6)}
R1 -
R2 = {(5, 5), (6, 6)}
(R1
R2)
= AxA – (R1
R2) = {(1, 5), (2, 1), (2, 6), (5, 1),
(5, 2),
(6,
1), (6, 2), (6, 5)}.
Operasi komposisi, merupakan gabungan dari dua buah
relasi yang harus memenuhi syarat tertentu, yaitu jika R1 relasi dari A ke A
dan R2 relasi dari A ke A, maka relasi komposisi R1 dan R2, dinyatakan oleh R2°R1 berarti relasi R1 diteruskan oleh
relasi R2. Syarat tersebut
adalah
jika (a, b)
R1 dan (b, c)
R2, maka (a, c)
R2°R1.
Contoh 6
Dengan menggunakan contoh 5, didapat:
R2°R1 = {(1,
1), (1, 2), (1, 6), (2, 2), (2, 5), (5, 6), (2, 6)}
Yang diperoleh dengan cara:
Jika A
= {1, 2, 5, 6}, R1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan
R2 =
{(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, maka:
R1
|
R2
|
R2◦R1
|
R1
|
R2
|
R2◦R1
|
(1,1)
|
(1,1)
|
(1,1)
|
(6,6)
|
(1,1)
|
-
|
(2,2)
|
-
|
(2,2)
|
-
|
||
(2,5)
|
-
|
(2,5)
|
-
|
||
(1,2)
|
(1,2)
|
(1,2)
|
-
|
||
(1,6)
|
(1,6)
|
(1,6)
|
-
|
||
(5,6)
|
-
|
(5,6)
|
-
|
||
(2,2)
|
(1,1)
|
-
|
(2,5)
|
(1,1)
|
-
|
(2,2)
|
(2,2)
|
(2,2)
|
-
|
||
(2,5)
|
(2,5)
|
(2,5)
|
-
|
||
(1,2)
|
-
|
(1,2)
|
-
|
||
(1,6)
|
-
|
(1,6)
|
-
|
||
(5,6)
|
-
|
(5,6)
|
(2,6)
|
||
(5,5)
|
(1,1)
|
-
|
|||
(2,2)
|
-
|
||||
(2,5)
|
-
|
||||
(1,2)
|
-
|
||||
(1,6)
|
-
|
||||
(5,6)
|
(5,6)
|
Tentunya operasi komposisi ini tidak hanya berlaku pada
relasi atas satu himpunan saja, melainkan dapat pula digunakan untuk relasi
yang melibatkan dua himpunan. Jika S relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan
R relasi dari himpunan B ke himpunan C, maka R°S, komposisi S diteruskan ke R adalah jika (a,b)
S, dan
(b,c)
R, maka
(a, c)
R°S.
Contoh 7
Diberikan:
A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, C = {z, x, y}, S={(1, a),
(2,a), (2, b), (3, b)}, R = {(a, x), (a, y), (b, z)}. Tentukan
R°S.
Untuk menjawab persoalan ini, perhatikan:
R°S = {(1,
x), (1, y), (2, x), (2, y), (2, z), (3, z)}, yang didapat dari
tabel
berikut:
S
|
R
|
R◦S
|
S
|
R
|
R◦S
|
(1,a)
|
(a,x)
|
(1,x)
|
(2,b)
|
(a,x)
|
-
|
(a,y)
|
(1,y)
|
(a,y)
|
-
|
||
(b,z)
|
-
|
(b,z)
|
(2,z)
|
||
(2,a)
|
(a,x)
|
(2,x)
|
(3,b)
|
(a,x)
|
-
|
(a,y)
|
(2,y)
|
(a,y)
|
-
|
||
(b,z)
|
-
|
(b,z)
|
(3,z)
|
3. Sifat Relasi
Sifat relasi:
1. Reflexive:
a
A, maka (a, a)
R
2.
Symmetry:
a, b
A, jika (a, b)
R à (b, a)
R
3.
Antisymmetry:
a, b
A, jika (a, b)
R
a ≠ b à (b, a)
R
{ini
setara dengan (a,b)
R
(b,a)
R à a=b}
4. Transitivity:
a, b, c
A, jika (a, b)
R
(b, c)
R à (a, c)
R
Contoh 9:
Jika A
= {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A:
R1 =
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}
R2 =
{(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
R3 =
{(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)}
R4 =
{(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
R5 =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3),
(3,4),
(4, 4)}
R6 =
{(3, 4)}
R7 =
{(1, 1)}
R8 =
{(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}
Manakah dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing
bersifat: refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri
sekaligus bukan antisimetri.
Jawab:
Pada relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif
adalah: R3, dan R5. R1 tidak refleksif karena (3, 3)
R1.
Relasi
yang bersifat simetri: R2, R3, dan R7.
Relasi yang bersifat antisimetri: R4, R6, dan R7.
Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7.
Untuk melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat
menggunakan tabel berikut:
(a,b)
|
(b,c)
|
(a,c)
|
Keterangan
|
(1,1)
|
(1,2)
|
(1,2)
|
Anggota R3
|
(1,2)
|
(2,2)
|
(1,2)
|
Anggota R3
|
(1,4)
|
(4,1)
|
(1,1)
|
Anggota R3
|
(2,1)
|
(1,4)
|
(2,4)
|
Bukan Anggota
R3
|
(2,2)
|
(2,1)
|
(2,1)
|
Anggota R3
|
Untuk melihat R5
bersifat transitif, lihat tabel berikut:
R5 =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2,3), (2,4), (3, 3), (3, 4),
(4,
4)}
(a,b)
|
(b,c)
|
(a,c)
|
Keterangan
|
(1,1)
|
(1,2)
|
(1,2)
|
Anggota R5
|
(1,2)
|
(2,2)
|
(1,2)
|
Anggota R5
|
(1,3)
|
(3,3)
|
(1,3)
|
Anggota R5
|
(1,4)
|
(4,1)
|
(1,1)
|
Anggota R5
|
(2,2)
|
(2,4)
|
(2,4)
|
Bukan Anggota
R3
|
(2,2)
|
(2,1)
|
(2,1)
|
Anggota R3
|
(2,4)
|
|||
(3,3)
|
|||
(3,4)
|
|||
(4,4)
|
4. Relasi
Ekivalen
Pengertian Relasi
Ekivalen
Definisi 4
(Relasi Ekivalen)
Adalah relasi yang memenuhi sifat: refleksif, simetri,
dan transitif
Contoh 15
R={(a, b)| a=b atau a=-b, a, b
Z}
Pada
relasi ini, jelas dipenuhi a=a,
a
Z,
berarti (a, a)
R atau bersifat refleksif.
Untuk sifat
simetri, terdapat dua kemungkinan:
- Jika a=b, berarti (a, b)
R,
a, b
Z maka b=a, berarti (b, a)
R
- Jika a=-b, berarti (a, b)
R,
a, b
Z maka b=-a, berarti (b,a)
R, Sehingga R bersifat simetri.
Untuk sifat transitif, mempunyai empat kemungkinan:
- Jika a=b, dan b=c, maka a=c, berarti (a, c)
R,
a,b,c
Z
- Jika a=b, dan b=-c, maka a=-c, berarti (a, c)
R,
a,b,c
Z
- Jika a=-b, dan b=c, maka a=-c, berarti (a, c)
R,
a,b,c
Z
- Jika a=-b, dan b=-c, maka a=c, berarti (a, c)
R,
a,b,c
Z
Sehingga R bersifat transitif.
Jadi, R relasi ekivalen.
Contoh 16
R= {(a, b)| a-b
Z, a, b
R}
Jelas kita dapatkan a-a =0
Z, berarti (a, a)
R, berarti R bersifat refleksif
Jika a-b
Z, maka b-a = -(a-b)
Z, berarti (b, a)
R, berarti R bersifat simetri
Jika a-b
Z dan b-c
Z, maka a-c=(a-b) + (b-c), berarti a-c
R, berarti R bersifat transitif.
Jadi, R relasi ekivalen.
2.2 FUNGSI
Dalam matematika
dan banyak aplikasi lain fungsi memainkan peranan penting. Dalam bab ini akan
membahas fungsi sebagai bentuk khusus dari relasi. Relasi akan dibahas secara lebih
mendalam dalam Bab 7.
Misalkan A dan B adalah himpunan tak
kosong. Fungsi dari A ke B,
dapat dipandang
sebagai aturan atau cara memasangkan setiap elemen A dengan tepat satu
elemen B. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f,
dan himpunan B dinamakan daerah kawan (codomain) dari f.
Kawan (image) dari a
A adalah b = f(a)
B, seperti diagram panah pada Gambar 6.1.
Daerah
hasil (range) dari f, dinotasikan sebagai Ran(f), adalah
himpunan semua elemen B yang menjadi kawan elemen A. Jadi, Ran(f)
B.
fungsi
dapat pula dipandang sebagai himpunan
bagian A
B dan
ditulis pasangan berurut (a,f(a)).
Contoh 6.1.
Misalkan A =
{1, 2, 3} dan B = {a, b, c}, maka
f = {(1, a), (2, a), (3, c)} adalah fungsi, sedangkan
g = {(1, a), (1, b), (3, c)} bukan fungsi karena g(1) = {a, b} (tidak memasangkan elemen A tepat satu pada elemen B).
Perhatikan bahwa dalam contoh ini Ran(f) = {a, c}.
A. Fungsi Kebalikan (Fungsi Invers).
Sebuah fungsi
dikatakan dapat dibalik (invers) bila
juga merupakan
fungsi.
Contoh 6.2. Fungsi f pada Contoh 6.1 tidak dapat
dibalik karena
.
B. Komposisi Fungsi
Misalkan
dan
adalah fungsi, maka dapat ditunjukkan
bahwa komposisi dari f dan g,
, adalah fungsi dari A ke C. Jika a
A dan b = f(a)
B sedangkan c = g(b)
C, maka
(
)(a) = g(f(a));
sehingga (
)(a) = g(f(a)) = g(b)
= c. Gambar 6.3 menyajikan komposisi fungsi dalam bentuk diagram panah
Contoh 6.3. Misalkan
dengan f(x)
= x + 1 dan g(y) = y2:
Tentukanlan
dan
.
Jawab:
(
)(x) = g(f(x)) = g(x
+ 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1:
dan
(
)(x) = f(g(x)) = f(x2)
= x2 + 1:
Pada umumnya,
≠
.
2.3 LIMIT
Definisi limit: kita
katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk
setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian
rupanya:
Kalkulus pada umumnya dikembangkan
dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat
diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang
kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada
bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun.
Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak
terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk
memanipulasi kecil tak terhingga.
Pada abad ke-19, konsep kecil tak
terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan
oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input
tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini,
kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara
cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:
Diberikan fungsi f(x) yang
terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu
sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah
L, dan menuliskan:
jika, untuk setiap bilangan ε > 0,
terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya
untuk setiap x:
A. Turunan
Artikel utama untuk bagian ini adalah:
Turunan
Grafik fungsi turunan.
Turunan dari suatu fungsi mewakili
perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses
menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun
diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x)
terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
,
Dengan syarat limit tersebut eksis.
Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan
(memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ,
kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila z = x + h,
h = z - x, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika
z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita
tulis sebagai :
Garis singgung pada (x,
f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik
adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik
tersebut.
Perhatikan bahwa ekspresi
pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis
sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada
kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan
mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada
titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari
garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien
dari fungsi tersebut.
Sebagai contoh, untuk menemukan
gradien dari fungsi
pada titik (3,9):
Ilmu yang mempelajari definisi,
properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan
dari sebuah grafik disebut kalkulus
diferensial
Garis singgung sebagai
limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik
adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik
tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan
garis sekan.
a. Notasi pendiferensialan
Terdapat berbagai macam notasi
matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.
b.
Notasi Leibniz
Diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang
paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y
= ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan
variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:
ataupun
c. Notasi Lagrange
Diperkenalkan oleh Joseph
Louis Lagrange dan
merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi
ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.
d.
Notasi Newton
Juga disebut sebagai notasi titik,
menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t),
maka
mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir
secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi
ini sering terlihat dalam bidang fisika dan
bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
Menggunakan operator diferensial D
yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df.
Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali
x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan
variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:
atau
.
Notasi Leibniz
|
Notasi Lagrange
|
Notasi Newton
|
Notasi Euler
|
|
Turunan ƒ(x) terhadap x
|
ƒ′(x)
|
dengan y = ƒ(x) |
B. Integral
Artikel utama untuk bagian
ini adalah: Integral
Integral dapat dianggap
sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua
titik a dan b.
Integral merupakan suatu objek
matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun
generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut
sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu:
integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan
untuk menyatakan integral adalah
, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum"
yang berarti penjumlahan).
C. Integral tertentu
Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x
dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:
secara informal didefinisikan sebagai
luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x,
dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada notasi integral di atas: a
adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan
domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x
pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.
Seiring dengan semakin
banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil,
luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian
formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan
sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ
pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut,
interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang
lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1,
x2, x3,..., xn - 1}
antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
Himpunan
tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b],
yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval
. Lebar subinterval pertama [x0,x1]
kita nyatakan sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval
ke-i kita nyatakan sebagai Δxi = xi
- xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita
pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita
memilih titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap subinterval akan
terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya
berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, ƒ(ti))
pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan
mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan
menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
Penjumlahan Sp
disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b].
Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil
penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita
inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi
mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah
tersebut.
Secara cermat, definisi integral
tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
Diberikan ƒ(x) sebagai
fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita
katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di
sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan
Riemann
apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε >
0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya
sedemikian rupanya untuk setiap partisi
di sepanjang [a,b] dengan
dan pilihan ti apapun pada [xk
- 1, ti], kita dapatkan
Secara matematis dapat kita tuliskan:
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai
sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n,
sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
Limit ini selalu diambil ketika norma
partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga
banyaknya.
Sebagai contohnya, apabila kita hendak
menghitung integral tertentu
, yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x
pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu
sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah
Pemilihan partisi ataupun titik ti
secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi
tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi
interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b
- 0)/n = b/n dan titik t'i yang dipilih
adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
dan
, sehingga:
Seiring dengan n mendekati tak
terhingga dan norma partisi
mendekati 0, maka didapatkan:
Dalam prakteknya, penerapan definisi
integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali
digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis
dalam mencari nilai integral tertentu.
D. Integral tak tentu
Manakala integral tertentu adalah
sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan
Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma
partisinya mendekati nol, teorema
dasar kalkulus (lihat
bagian bawah)
menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan
mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Apabila
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif
sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif
dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif
umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi
, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi
tersebut adalah:
Perhatikan bahwa integral tertentu
berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk
adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :
adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta
sembarang C.
E. LIMIT DI KETAKHINGGAAN, LIMIT TAK TERHINGGA :
Definisi-definisi Cermat
Limit bila x→ ± ∞ .
Dalam analogi dengan
definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuat definisi berikut.
Definisi:
(Limit bila x → ∞).
Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa
Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang
x→∞
berpadanan sedemikian sehingga
X > M → │f(x) - L│ < ε
Definisi:
(Limit bila x → -∞). Andaikan f terdefinisi
pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika
untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang
x→ -∞
berpadanan sedemikian sehingga
X < M → │f(x) – L│ < ε
Definisi:
(Limit-limit tak-
terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan
x→c+
positif M, berpadanan suatu δ > 0 demikian
sehingga 0 < x – c < δ → f(x)
> M
a.
Hubungan Terhadap Asimtot
Garis x = c adalah asimtot vertikal dari
grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah asimtot tegak. Sama halnya
garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertikal. Dalam nafas yang serupa,
garis y = b adalah asimtot horisontal dari grafik y = f(x) jika,
Lim f(x) = b atau Lim f(x) = b
x→∞ x→ -∞
Contoh kasus penggunaan turunan :
1.
Jika f(x) = ax3+bx2,
tentukan a & b sedemikian sehingga grafik dari f akan mempunyai titik
infleksi di ( 1,2 ).
Penyelesaian :
F(x) = ax3+bx2
F’(x) = 3ax2 + 2bx
F”(x) = 6ax + 2b
Sehingga terdefini untuk setiap x adalah bilangan riil, jadi titik
infleksi terjadi hanya bila F’(x) = 2 dan F”(x) =0 dan titik infleksi (1,2),
maka :
F’(1) = 2
=> a + b = 2, karena f (x) ax3 + bx2 = a(1)3
+ b(1)2 = 2
=a + b = 2
F”(2) = 0 =>
6a + 2b = 0, x dihilangkan sementara dan 6a + 2b = 0
3a + b = 0 dan kemudian sama – sama dibagi 2
sehingga
Dihasilkan 3a + b = 0 .
Eliminasi
3a + b = 0
a + b =
2 -
2a
= -2
a = -2
2
= -1
Cari nilai b
3a + b = 0
b = 0 – (-3)
b = 3
sehingga nilai a = -1 dan nilai b = 3
jadi fungsi f(x) = -x3 + 3x2
b. Limit dan kecil tak terhingga
Artikel utama untuk bagian
ini adalah: Limit
2.4 FUNGSI TURUNAN
Misalnya, suatu fungsi f
(x) = x3+x2 -5. Turunan pertama f (x) adalah f I (x)=
3x2+4x. jika f I(x)diturunkan
lagi maka akan diperoleh f II(x)
-6x +4. Untuk fungsi y – f (x),
maka turunan pertama di tulis
dan turunan
kedua ditulis sebagai
.
Jadi, jika diketahui siatu pungsi y-f(x), maka:
a.
adalah turunan pertama dan dituliskan
sebagai yI= f I(x)
b.
adalah turunan kedua dan dituliskan sebagai yII=fII(x)
Contoh Soal:
a.
f(x)-5x4-2x2
penyelesaian :
a.
f I(x) =20x3-4x
b.
f II(x)=60x2-4
2.5 APLIKASI TURUNAN
A. Maksimum dan Minimum
Misalkan kita
mengetahui fungsi f dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A.
maka kita akan menentukan f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S.
Anggap saja bahwa nilai-nilai tersebut ada dan ingin mengetahui lebih lanjut
dimana dalam S nilai-nilai itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan
nilai-nilai maksimum dan minimum.
Definisi :
Andaikan S, daerah asal f ,
memuat titik C, kita katakana bahwa:
i.
f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x)
untuk semua x di S
ii.
f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x)
untuk semua x di S
iii.
f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia
adalah nilai maksimum atau minimum
Teorema A
(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup
[a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.
Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim :
Biasanya fungsi yang
ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I
sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan
tipe yang dibahas 1.3. beberapa dari selang ini memuat titk-titik ujung;
beberapa tidak. Misalnya I = [a,b] memuat titik-titik ujung dua-duanya;
(a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titk ujung satupun.
Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan pada selang tertutup sering
kali terjadi pada titik-titik ujung. (Lihat Gambar B)
Jika c sebuah titik
pada mana f’(c) = 0 disebut c titik stasioner. Pada titik stasioner,
grafik f mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim
terjadi pada titik-titik stasioner. (Gambar C )
Jika c adalah titik
dalam dari I dimana f’ tidak ada, disebut c titik singular.
Grafik f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal. Nilai-nilai
ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular. (Gambar D) walaupun dalam
masalah-masalah praktis sangat langka
Teorema B
(Teorema titik
kritis). Andaikan f
didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah
titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu :
i.
titik ujung I
ii.
titik stasioner dari
f (f’(c) = 0)
iii.
titik singular dari f
(f’ (c) tidak ada)
Mengingat teorema A
dan B, untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f
pada selang tertutup I .
Langkah 1 : Carilah titik-titik
kritis dari f pada I
Langkah 2 : hitunglah f pada
setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil
adalah nilai minimum.
soal :
Carilah nilai- nilai maksimum dan minimum dari
f(x) = x2 + 4x pada [-3, 1]
Penyelesaian:
Menurunkan fungsinya f’(x) = 2x + 4
Kemudian mencari titik kritis f’(x) = 0
2x + 4 = 0
X = -2
Berarti titik-titik kritis yang di dapat -3, -2,
1 maka :
f(-3) = -3
f(-2) = -4
f(1) = 5
Jadi nilai maksimum adalah 5 (dicapai pada 1)
dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada -2)
B. Kemonotonan dan Kecekungan
Definisi :
Andaikan f terdefinisi
pada selang I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa :
i.
f adalah naik pada I jika untuk setiap
pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1
< x2 → f(x1) < f(x2)
ii.
f adalah turun pada I jika untuk setiap
pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1
> x2 → f(x1) > f(x2)
iii.
f monoton murni pada I jika ia naik pada I
atau turun pada I
Teorema A
(Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I
dan dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I
i.
Jika f’(x)
> 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I
ii.
Jika f’(x)
< 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I
Turunan Pertama dan
Kemonotonan
Ingat kembali bahwa
turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung f dititik
x, kemudian jika f’(x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa,
jika f’(x) < 0, garis singgung jatuh ke kanan. (Gambar A)
Turunan Kedua dan
Kecekungan
Sebuah fungsi mungkin naik dan
tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu
mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang
grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam,
kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah
jarum jam, grafik cekung ke bawah
Definisi:
Andaikan f
terdeferensial pada selang terbuka I = (a,b). jika f’ naik pada I,
f (dan grafiknya) cekung ke atas disana; jika f’ turun
pada I, f cekung ke bawah pada I.
Teorema B
(Teorema kecekungan). Andaikan f terdeferensial dua kali pada
selang terbuka (a,b).
i.
Jika f’’(x)
> 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke atas pada (a,b)
ii.
Jika f’’(x)
< 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke bawah pada (a,b)
Titik Balik
Andaikan f
kontinu di c, kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f
jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi
lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan.
Gambar
soal :
Jika f(x) = x3 + 6x2 + 9x
+ 3 cari dimana f naik dan dimana turun?
Penyelesaian:
Mencari turunan f
f’(x) = 3x2 + 12x + 9
= 3 (x2 + 4x + 3)
= 3 (x+3)(X+1)
Kita perlu menentukan (x +3) (x
+1) > 0 dan (x +3) (x + 1) < 0 terdapat titik pemisah -3
dan -1, membagi sumbu x atas tiga selang ( -∞, -3), (-3, -1) dan (-1,
∞). Dengan memakai titik uji -4, -2, 0 didapat f `(x) > 0 pada
pertama dan akhir selang dan f `(x) < 0 pada selang tengah.
Jadi, f naik pada (-∞, -3] dan [-1, ∞) dan turun
pada [-3, -1]
Grafik
f(-3)
= 3
f(-1)
= -1
f(0)
= 3
C. Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi :
Andaikan S, daerah asal f,
memuat titik c. kita katakan bahwa :
i.
f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat
selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai
maksimum f pada (a,b) ∩ S
ii.
f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat
selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum
f pada (a,b) ∩ S
iii.
f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa
nilai maksimum lokal atau minimum lokal
Teorema titik kritis
pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh
nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada
salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita
mempunyai ekstrim lokal.
GAMBAR MAKS.LOKAL DAN
MINIM LOKAL
Teorema A
(Uji Turunan Pertama untuk
Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu
pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.
i.
Jika f’(x)
> 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam
(c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f
ii.
Jika f’(x)
< 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam
(c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f
iii.
Jika f’(x)
bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.
Teorema B
(Uji Turunan Kedua
untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan
f’’ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan
andaikan f’(c) = 0
i.
Jika f’’(c)
< 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f
ii.
Jika f’’(c)
> 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f
soal :
Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2
– 8x + 7 pada (-∞,∞)
penyelesaian:
fungsi polinom kontinu dimana-mana dan
turunannya, f’(x) = 2x – 8, ada untuk semua x. jadi satu-satunya titik kritis
untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x) = 0 yakni x = 4 karena f’(x) =
2(x-4) < 0 untuk x<0, f turun pada (-∞,4) dank arena 2(x – 4)>0 untuuk
x>0, f naik pada [4,∞) karena itu, f(4) = -9 adalah nilai minimum lokal f,
karena 4 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim
lain. Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.
D. Lebih Banyak Masalah Maks-Min
Masalah yang
dipelajari dalam pasal 4.1, biasanya menganggap bahwa himpunan pada mana kita
ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup.
Tetapi, selang-selang yang uncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang
terbuka atau bahkan setengah terbuka., setengah tetutup. Kita masih tetap
menangani masalah ini jika ita menerapkan secara benar teori yang dikembangkan
dalam pasal 4.3. Ingat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat
tambahan berarti maksimum (minimum) global.
Langkah-langkahnya:
1) Buat
sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesui untuk
besaran-besaran kunci
2) Tuliskan
rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk
variabel-variabel tersebut
3) Gunakan
kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari
variabel-variabel ini dan karenanya enyataka Q sebagai fungsi dari satu
variabel, misalnya x
4) Tentukan
himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang
5) Tentukan
titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling
sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 0
6) Gunakan
teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberika maksimum atau
minimum
soal :
Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum
dari f(x) = x3 – 3x2+4
pada ( -∞, ∞).
Penyelesaian :
f`(x) = 3x2 – 6x = x(3x
– 6)
x=0 dan x= 2
f(2) = 0
f(0) = 4
fungsi memiliki nilai maksimum 4 (pada 0) dan
nilai minimum 0 (pada 2)
E. Penerapan Ekonomik
Dalam mempelajari
banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Misalkan
dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC
akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p
tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = x
p(x), banyak satuan kali harga tiap satuan.
Untuk memproduksikan
dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total C(x). Ini biasanya
jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar untuk sebuah
perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan dan biaya.
P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) –
C(x)
Umumnya,
sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.
Pada dasarnya suatu produksi akan
berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x) dan P(x) pada umumnya
didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,…..dan sebagai akibatnya, grafiknya akan
terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat mempergunakan kalkulus,
titik-titik tersebut kita hubungkan satu sama lainsehingga membentuk kurva.
Dengan demikian, R,C, dan P dapat dianggap ebagai fungsi yang dapat
dideferensialkan.
Penggunaaan Kata
Marjinal
Andaikan ABC
mengetahui fungsi biayanya C(x) dan ntuk sementara direncanakan memproduksi 2000
satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jika fungsi
biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai ∆C/∆X
pada saat ∆x = 1. tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap
nilai Lim
Pada saat x = 2000. ini disebut
biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc/dx, turunn C terhadap x. dengan
demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal
dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx.
soal :
andaikan C(x) = 6700 + 4,15x +
30x1/2 rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal
dan hitung mereka bilamana x = 4000
penyelesaian :
Biaya rata-rata : C(x)/x = (6700
+ 4,15x + 30x 1/2) /x
Biaya marjinal : dC/dx = 4,15 +
30x -1/2
Pada X = 400 diperoleh
Biaya rata-rata = 22,4 x 400 =
8960
Biaya marjinal = 4,9 x 400 = 1960
Ini berarti bahwa rata-rata biaya
tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi 400satuan yang pertama, untuk
memproduksi satu satuan tambahan diatas 400 hanya memerlukan biaya Rp. 1960.
F. Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Definisi-definisi
Cermat Limit bila x→ ± ∞
Dalam analogi dengan definisi,
kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii berikut.
Definisi:
(Limit bila x → ∞).
Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa
Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang
x→∞
berpadanan sedemikian sehingga
X > M → │f(x) - L│ < ε
Definisi:
(Limit bila x → -∞).
Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa
Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang
x→ -∞
berpadanan sedemikian sehingga
X < M → │f(x) – L│ < ε
Definisi:
(Limit-limit tak- terhingga).
Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan
x→c+
positif M, berpadanan suatu
δ>0 demikian sehingga
0 < x – c < δ→ f(x) > M
Hubungan Terhadap
Asimtot
Garis x = c adalah
asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah asimtot
tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical. Dalam
nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x)
jika
Lim f(x) = b atau Lim f(x) = b
x→∞ x→ -∞
Garis y = 0 adalah asimtot
horizontal.
soal :
. lim 3x2 - 2x + 6 / 6x2 –
5x -9
x→ ~
lim 3x2/x2 – 2x/x2
+ 6/x2 / 6x2/x3 – 5x/x2 + 9/x2
= 3/6 = 1/2
x→ ~
G. Penggambaran Grafik Canggih
Kalkulus menyediakan
alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam
mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat
menempatka titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan
titik-titik balik. Kita dapat menentukan secara persis dimana grafik naik atau
dimana cekung ke atas.
a.
POLINOM.
Polinom derajat 1
atau 2 jelas untuk di gambar grafiknya, yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika
derajatnya cukup ukurannya, misalka 3 sampai 6. kita dapat memakai alat-alat
dari kalkulus dengan manfaat besar.
b. FUNGSI RASIONAL.
Fungsi
rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk
digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang
dramatis dimanapun penyebut nol.
c. RINGKASAN METODE.
Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak
terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut
akan sangat membantu.
Langkah 1 :
Buat analisis pendahuluan sebagai
berikut :
a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi
untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan.
b. Uji kesemetrian terhadap sumbu y dan titik
asal. (apakah fungsi genap atau ganjil?)
c. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu
koordinat.
d. Gunakan turunan pertama untuk mencari
titik-titk kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun.
e. Uji titik-titik kritis untuk maksimum atau
minimum lokal.
f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui
tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan
titik-titik balik.
g. Cari asimtot-asimtot.
Langkah 2 :
Gambarkan beberapa titik
(termasuk semua titik kritis dan titik balik)
Langkah 3 :
Sketsakan grafik.
soal :
Sketsakan grafik f(x) = (2x5 – 30x3)/108
penyelesaian :
karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil,
oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titik asal. Dengan menetapkan f(x) =
0 berarti {2x5 – 30x3}/108 = 0 dan x3(2x2
– 30)/108 = 0
kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan
15 3,85 Kemudian kita deferensialkan f’(x) = (10x4 – 90x2)/108
= {10x2 (x2-9)}/108
kita peroleh titik kritis -3, 0, 3
f(-3) = 3
f(0) = 0
f(3) = 12
kemudian kita deferensialkan kembali f”(x) =
(40x3 -180x)/108 = {x(40x2-180)}/108
kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0
f(-2.1) = 1.8
f(2.1) = -1.8
f(0) = 0
H.
Teorema
Nilai Rata-Rata
Teorema nilai
rata-rata adalah bidang kalkulus – tidak begitu penting, tetapi sering kali
membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam bahasa
geometri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema
mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak
vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu
titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajat
talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian, dan
dalam Gambar 2 terdapat beberapa.
GAMBAR 1 dan 2
Teorema A
(Teorema Nilai
rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu
pada selang tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari
(a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana
f(b) – f(a) / b – a = f’(c)
atau secara setara, dimana
f(b) – f(a) = f’(c) (b-a)
Teorema B
Jika F’(x) = G’(x)
untuk semua –x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga F(x)
= G(x) + C
Untuk semua x dalam (a,b)
soal:
Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai
rata-rata untuk f(x) = x2 – 3 pada [1,3]
penyelesaian :
f’(x) = 2x
dan {f(3) – f(1)}/ 3 – 1 = {6 – (-2)}/2 = 8/2 =
4
jadi kita harus menyelesaikan 2C = 4 maka C = 2
jawaban tunggal adalah C = 2
BAB III
PENUTUP
3.1KESIMPULAN
A. Relasi pada sebuah himpunan
dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah(directed graph atau
digraph) graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi
darisuatu himpunan ke himpunan lain.
B.
Tiap
elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul
atauvertex).Jika (a, R, maka sebuah
busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul aÎb) disebutsimpul asal
(initial vertex) Dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).
C.
Matriks
itu sendiri adalahsusunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.
D.
Maksimum dan Minimum
1. Kemonotonan dan Kecekungan
2. Maksimum dan Minimum Lokal
3. Lebih Banyak Masalah Maks-Min
4. Penerapan Ekonomik
5. Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
6.. Teorema
Nilai Rata-Rata
7. Penggambaran Grafik Canggih
Sedangkan apilkasi nya dalam berbagai bidang
1. Dalam bidang tehnik
2. Dalam bidang matematika
3. Dalam bidang ekonomi
4. Dalam
bidang fisika
E.
Funsi Turunan
Daftar Pustaka
Purcell,
Edwin J. 2003. Kalkulus jilid 1.
Jakarta: Erlangga
Sari,
Intan. 2009. Penggunaan turunan.
Setiawan.
2004. PDF Pengantar kalkulus. http://Depdiknas.yogyakarta.com/
(diakses taggal 3 Januari 2013)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar